Movimiento curvilíneo: Componentes rectangulares

Podemos describir la trayectoria curvilínea en función de coordenadas x, y, z.

Posición

Describimos la trayectoria como un vector de posición:

$\bold{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

Figura 1. Posición de la trayectoria curvilínea en componentes rectangulares.

Sabemos que x = x(t), y = y(t), z = z(t) de modo que r = r(t).

La magnitud r es:

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Velocidad

De igual forma que en las secciones anteriores para encontrar la velocidad realizamos la primera derivada de la partícula:

$\bold{v}=\frac{d\bold{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}$

Esto implica que tenemos la dirección de cada uno de los componentes vectoriales.

$\bold{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}$

La magnitud de la velocidad se determina como:

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

Aceleración

Para obtener la aceleración de la partícula se obtiene de la primera derivada con respecto al tiempo:

$\bold{a}=\frac{d\bold{v}}{dt}=\frac{dv_x}{dt}\hat{i}+\frac{dv_y}{dt}\hat{j}+\frac{dv_z}{dt}\hat{k}$

Así obtenemos las componentes de dirección de la aceleración:

$\bold{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}$

Y la magnitud de la aceleración es:
$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Ejemplo:

1. En cualquier instante x=(8t)ft, define la posición horizontal del globo atmosférico. Si la ecuación de la trayectoria es y=x2/10, determine la magnitud y dirección de la velocidad y la aceleración cuanto t=2s.


Resultados:

$v=26.8 ft/s$

$\theta_v = 72.6^o$

$a=12,8 ft/s^2$

$\theta_a = 90^o$




2. Durante un breve lapso, y=(0.001x2) m describe la trayectoria del avión que se muestra. Si el avión se eleva con una velocidad constante de 10 m/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del avión cuando esté a y=100 m.












$v=18.7 m/s$
$a=0.791 m/s^2$