Movimiento curvilíneo general

La forma de describir los movimientos curvilíneos es empleando análisis vectorial para formular la posición, velocidad y aceleración.

Posición

Considere una partícula situada en un punto de una curva espacial definida por la función de trayectoria s(t) (Figura 1). El vector de posición r = r(t) designará la posición de la partícula medida con respecto a un punto fijo O.

Figura 1. Posición curvilínea.

Desplazamiento

Suponga que durante un breve intervalo Δt la partícula se mueve una distancia Δs a lo largo de la curva a una nueva posición, definida por r' = r + Δr. El desplazamiento Δr representa el cambio de posición de la partícula.

Figura 2. Desplazamiento curvilíneo.

Velocidad

Durante el tiempo Δt, la velocidad promedio de la partícula

$v_{prom} = \frac{\Delta r}{\Delta t}$

La velocidad instantánea se determina con esta ecuación cuando:

$v = lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta r}{\Delta t}$

$v= \frac{dr}{dt}$

Esto implica que la velocidad v es tangente a la curva (Figura 3).

Figura 3. Velocidad de una trayectoria curvilínea.




La rapidez se obtiene al diferenciar la función de la trayectoria s con respecto al tiempo.
$v = \frac{ds}{dt}$

Para obtener ds utilizamos:

$ds=\int_a^b \sqrt{1-\frac{d}{dx} |f(x)|^2 }dx$

Siendo f(x) la función de la trayectoria curvilínea.

Aceleración

Si la velocidad de la partícula es v en el instante t y v' = v + Δv en el instante t + Δt. Entonces la aceleración promedio de la partícula durante el intervalo:

$a_{prom} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

Sabemos que obtener la aceleración instantánea sólo tenemos que:

$a = lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}$

Así tenemos:

$a = \frac{dv}{dt}$

Y la podemos escribir como:

$a = \frac{d^2 r}{dt^2}$

Figura 4. Aceleración de una partícula en una trayectoria curvilínea.

Para que la partícula siga cualquier trayectoria curva, el cambio direccional siempre cambia el vector de velocidad hacia el interior de la trayectoria, por consiguiente la aceleración no puede permanecer tangente a la trayectoria.