Cinemática+Rectilínea

=Cinemática rectilínea: Movimiento continuo.=

Conceptos importantes:

 * Cinemática rectilína:** Es la especificación en cualquier instante de la posición, la velocidad y aceleración de una partícula.

Posición:
La trayectoria restilínea está definida por medio de un eje de coordenada s (Figura 1). El origen O en la trayectoria es un punto fijo, y a partir de él se utiliza la coordenada de posición s para especificar la posición de la partícula en cualquier instante.



Debido a que la posición es un vector posee magnitud y dirección.

Desplazamiento:
El desplazamiento Δs de una partícula se define como el cambio de su posición: math \Delta s = s' - s math

Observamos que el desplazamiento es una cantidad vectorial.

La velocidad promedio //v prom //es el cambio de posición Δs durante un intervalo de tiempo Δt.

math v_{prom}=\frac{\Delta s}{\Delta t} math

Si tomamos intervalos de tiempo muy pequeños tenemos: math v= lim_{\Delta t \rightarrow 0 } ( \frac{\Delta s}{\Delta t} ) math

De esta forma obtenemos la velocidad en su forma diferencial: math v =\frac{ds}{dt} math

Ahora consideremos una trayectoria como se muestra en la Figura 3.



En este caso, observamos que la particula para realizar un desplazamiento recorrió una distancia //S T //, cuyo difiere entre ellos. Aquí introducimos el término de la rapidez promedio //v rap //: math v_{rap} = \frac{S_T}{\Delta t} math

Aceleración:
La aceleración promedio //a prom // la definimos como el cambio de velocidad respecto a un intervalo de tiempo.

math a_{prom} = \frac{\Delta v}{\Delta t} math Obtenémos la aceleración intantánea cuando hacemos muy pequeño el intervalo de tiempo: math a= lim_{\Delta t \rightarrow 0 } ( \frac{\Delta v}{\Delta t} ) math math a= \frac{dv}{dt} math

De esta ecuación, podemos obtener una relación diferencia que implica el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. math a ds = v dv math

Esto es equivalente a: math a= \frac{d^2 s}{dt^2} math

Cuando se reduce la rapidez de un punto a otro hablamos de una desaceleración.

Aceleración constante:
Si consideramos que la aceleración es constante: math a = a_c math

math \int_{v_o}^v dv = \int_{0}{t} a_c dt math math v = v_o + a_c t math
 * Velocidad como función del tiempo:**

math \int_{s_o}^s ds = \int_{0}{t} v dt math math \int_{s_o}^s ds = \int_{0}{t} (v_o + a_c t) dt math math s = s_o + v_ot + \frac{a_c t^2}{2} math
 * Posición como función del tiempo:**

math \int_{v_o}^v dv = \int_{s_o}{s} a_c ds math math v^2 = v_o^2 + 2 a_c (s - s_o) math
 * Velocidad como función de la posición:**

Ejercicios

 * 1. Un auto se desplaza a en línea recta de modo que durante un corto tiempo su velocidad está definida por v=(3t 2 +2t) ft/s. Determine su posición y aceleración cuanto t=3s. Cuando t=0, s=0.**


 * Solución:**

Como v=f(t), la posición del automóvil se determinará con: math v = \frac{ds}{dt} math

math ds = v dt math math \int_o^s ds = \int_o^3 v dt math math s = \int_o^3 (3 t^2 + 2t) dt math math s= (t^3 + t^2) |_o^3 math

Cuando t=3s la posición es: math s=(3)^3 + (3)^2 = 36 ft math

Para determinar la aceleración usaremos: math a = \frac{dv}{dt} math math a = \frac{d}{dv} (3 t^2 + 2 t) math math a= 6 t +2 math

Cuando t=3s tenemos: math a = 6(3) +2 = 20 ft/s^2 math


 * 2. Se dispara un pequeño proyectil verticalmente hacia abajo en un medio fluido con una velocidad inicial de 60m/s. Debido a la resistencia aerodinámica del fluido, el proyectil experimenta una desaceleración de a=(-0.4v 3 ) m/s 2 . Determine la velocidad del proyectil y su posición 4s después del disparo.**


 * Resultados:**

math v= 0.559 m/s math

math s= 4.43 m math


 * 3. Durante una prueba un cohete asciende a 75m/s y cuando está a 40m del suelo un motor falla. Determine la altura máxima s B alcanzada por el cohete y su velocidad justo antes de chocar con el suelo. Mientras está en movimiento, el cohete se ve sometido a una aceleración constante dirigida hacia abajo de 9.81m/s 2 debido a la gravedad. Ignore la resistencia del aire.**


 * Resultados:**

math s_B = 327 m math

math v_C= -80.1 m/s math